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这个专题是关于线性映射的，内容主要涵盖线性空间和线性变换和它们的结构，至少初步设想是这样的。更偏向于一个读书笔记，包括平时读到的一些文章，教材的阅读和课堂的笔记，所以观点会相对的比较低，更加适合阅读。希望会有一些与几何知识的互动，但是会与代数分开一些些，比如说不会聊到关于赋范空间（比如说丘的教材后面还引用的Hermite空间的傅里叶系数为基底的例子，我就觉得有些不合适了）。引用代数老师的话来说：“代数几何熔一炉”。希望这个小专题的旅程可以对你我有意义。这一次主要讲讲标准型与λ-矩阵。
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不出意外的话，这篇文章是这个系列的最后一篇了，正好也算是自己期末考试代数复习的一个回顾（虽然好像不考这部分内容）。以后应该还会提到大一的代数，但是最近就不会再提到了。至于这个部分，其实可以算是well-contained的，但是真的好好学还是多读书。
既然是相似标准型，那首先应该注意的是：相似保留了什么性质。首先我们不考虑复数域上的结果（即不能分解为一次因式的乘积），那么我们能够得到：
这是很精彩的结果；不仅分解成了直和，而且给了很详尽的结构叙述与构造叙述（通过循环子空间）。同时这个结果说明了相同的不变因子组（即复数域里的相同的初等因子组），就可以得到相似的结果。即相似等价于特征方阵相抵。如果我们对Smith标准型运用这个结果，那么很自然的可以得到：
考虑到Smith标准型的结构以及复数域下可以分解为一次因式的乘积（这里觉得还是在叙述一下”定义“比较好）：
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Jordan标准型具备很好的交换性质和分离性质。交换体现在所有能与J_n(a)交换的矩阵都是其多项式。由此可知如果各个Jordan块特征值均不同的话，所有能与其交换的矩阵都是其多项式（这在几何上是很好考虑的，如果认识到它是一个循环子空间的话）。而复杂一点的所有和它交换的矩阵满足性质（我没证明过，估摸着是对的（这样是不对的！），毕竟以后还有很久要考虑和交换相关的问题）：
最后还有一个问题，就是关于怎么相似到Jordan标准型的问题，也就是如何求出可逆复矩阵。一般来说呢，还是按照解方程的方法好了（具体可以参考书intro部分解一个微分方程组的例子）。这里提一个让我第一次见有些意外的方法，其实仔细读来就是从第一个证明”脱胎“出来的（我懒得整理了，想读的直接读好了）：
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其实有很多好的结构，但是我常常因为觉得自己认识的太浅而觉得不适合分享（尤其在代数），比如说AX-XB=0的解，AX-XA这样的矩阵性质，或者是一些交换群的问题，模论之类的，特别是一些矩阵的分解的一类结果。我想以后如果真的代数学的比较好了（或者比较清闲了）还是会写下来的。这个部分不算是单抓主线，我觉得细节大致有提清楚（我觉得）。
关于大一的Jordan标准型就到这里了。
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最后——如果有还没读大一的同学看到这句话——要读高等代数——去读李尚志老师的《线性代数》。
