#卡西欧计算器991 #计算器篇 排列组合应用
大家好，今天我们继续学习卡西欧 91 计算器排列与组合的运用方法。首先我们先简单的回顾下排列组合的知识点。1，排列双字母 A 表示是从 N 个元素中取 M 个元素进行排列公式，从 N 开始依次乘以 N 减1， N 减 2 直到 N 减 M 加 1 为止。最后化简为 N 阶除以 N 减 M 阶。我们以一道例题来进行讲解，有从 1 到九共计 9 个号码球。问可以组成多少个三位数？首先这里取的三个数，比如 123 是可以组合成 123132213231312321 漏斗数据。所以用排列公式 a93 就等于九阶除以六阶。我们先按照传统的方法计算一下。首先输入 9 按 shift 按接数除以 6 shift 接数按等于号，这样结果就出来了，是504。二组合是用 C 字母 C 来表示。与排列的区别在于是从 N 个元素中取 M 个元素，而 M 个元素是不进行排列的公式为排列的公式，除以 M 阶，最后化简为 N 阶，除以 M 阶除以 N 减 M 阶。
同样我们以一道例题来进行讲解，有从一倒酒共计 9 个号码球问如果三个一组可以组成多少组？由于问的是三个一组组成几组，那么我们取的三个数是没有排列顺序的，无论是 123 还是 321 都是同一组数据。所以 room 组合公式这里 c93 就等于 9 阶，除以 3 阶除以 6 阶。同样我们先按照传统的方法计算一下，先点是 AC 进行清空，按 9 shift 接数除以 6 shift 接数除以 3 shift 接数按等于号，这样结果就出来了，是84。当然我们也有更简洁的操作。那我们看这两个键，一个是 npr 一个是 ncr P 代表排列， C 代表组合，N为元素总和个数，2为抽取元素的个数。我们先按 a93 计算一下，点 AC 进行清空。我们先输入 9 总数，然后点 shift.npr 再输入抽取的元数，个数为3，这样输入完成按等于号，这样结果就出来了，是504。我们再计算一下c93，先点 AC 进行清空，我们输入元素总和 9 按 shift.ncr 再输入抽取的个数为 3 按等于号，这样结果就出来了，是84，这样就省去了接触的输入，节省时间，相当方便。好了，今天先到这里，谢谢大家。
数理统计作业做着做着发现我不仅记不清楚排列组合C和A的计算公式，甚至已经要把等比数列怎么求和忘完了,我觉得自己好像真的要完蛋了????
排列组合的计算方法，别只是个公式，举个例子写的具体点？
标准的排列组合
先看一个例子 (1)：
三个城市 A，B，C，从 A 到 B 有三条路 a??, a??, a?? ，从 B 到 C 有两条路 b??, b??，问 从 A 到 C 有多少种走法？
解：
要 从 A 到 C 就 必须选择一条 A 到 B 的路 a 和 一条 B 到 C 的路 b，然后连成 A 到 C 的路 ab。
a 可以是 a??, a??, a?? 有3种选法，b 可以是 b??, b?? 有3种选法，于是根据日常的经验，ab 的可能有：
所有 ab 总共有 3 × 2 = 6 种可能。
这个例子就是 乘法法则：
若具有性质 a 的事件有 m 个，具有性质 b 的事件有 n 个，则 同时具有 性质 a 和 b 的事件有 m × n 个。
因为，
令 a 的 m 个事件为 a??, a??, …, a_m，b 的 n 个事件为 b??, b??, …, b_m，则根据日常的经验，ab 的可能有：
乘法法则，还可以从 两项 扩展到 任意有限多项：
若具有性质 a??, a??, a??, …, a_n 的事件分别有 m??, m??, m??, …, m_n 个，则 同时具有 性质 a??, a??, a??, …, a_n 的事件有 m?? × m?? × m?? × … × m_n 个。
因为，
然后利用 两项的乘法法则，就得到：
再看一个例子 (2)：
总共有三个球 ①②③，从中挑选出两个排成一列，问有多少种挑选方案？
解：
挑出两个排成一列，分两步，
先从三个球 中任意 挑出一个球 a 放在序列的第一位；
再从挑剩下的 二个球 中 中任意 挑出一个球 a 放在序列的第二位；
这样就组成了 ab 的序列。构建 ab 序列的过程 和 例子 (1) 组成路线的过程 类似，因此 也 符合乘法法则。因为 a 是 3 选 1 有 3 种可能，b 是 2 选 1 有 2 种可能，所以 构建 ab 序列 有 3 × 2 = 6 种可能，具体如下：
例子 (2) 就是 从 3 中取出 2 的排列，更一般地定义为：
从 n 个元素 中取出 m(≤ n) 个元素 排成一列，称为 从 m 中取出 n 的 排列，排列的方案个数称为排列数，记为 P(n, m)。
从 m 中取出 n 的 排列的构建过程如下：
根据 乘法法则，有：
P(n, m) = n(n-1)(n-2)…(n-m 1)
而：
n! = n(n-1)(n-2)…(n-m 1)(n-m)(n-m-1)…1
(n-m)! = (n-m)(n-m-1)…1
故，
P(n, m) = n!/(n-m)!
比较特别的是：
从 n 中取出 n 个 的排列，就是 对 n 个元素进行各种排列，称为 全排列 ，P(n, n) = n!/(n-n)! = n!/0! = n!；
从 n 中取出 0 个 的排列，称为 零排列 ，P(n, 0) = n!/(n-0)! = n!/n! = 1；
将 例子 (2)，改为 (2')：
总共有三个球，从中挑选出两个不考虑顺序，问有多少种挑选方案？
解：
我们前面已经 计算出了序列 ab 的排列数 P(3, 2)，所谓不考虑顺序，也就是说，两个元素 a, b 的各种排列：ab, ba 算一种方案。
两个元素 a, b 的各种排列，就是 2 的全排列，即，P(2, 2)。于是 只需要 用 P(3, 2) 除以 P(2, 2) 就是 答案了：
P(3, 2) / P(2, 2) = 3!/((3-1)!2!) = 3
例子 (2') 就是 从 3 中取出 2 的组合，更一般地定义为：
从 n 个元素 中取出 m(≤ n) 个元素 不考虑顺序，称为 从 m 中取出 n 的 组合，组合的方案个数称为组合数，记为 C(n, m)。
根据例子 (2') 中的分析，有：
C(n, m) = P(n, m) / P(m, m) = P(n, m) = n!/((n-m)!m!)
比较特别的：
从 n 中取出 n 个 的组合，C(n, n) = n!/((n-n)!n!) = n!/(0!n!) = n!/n! = 1；
从 n 中取出 0 个 的组合，C(n, 0) = n!/((n-0)!0!) = n!/(n!0!) = n!/n! = 1；
一些特殊的排列组合
考虑，问题 (3)：3 个人去饭店吃饭，围坐在一张圆桌前，问有多少种坐法？
围坐成圈不同于排成一列，这是一种新的排列方式，于是定义：
从 n 个元素 中取出 m 个元素 排成一圈，称为 圆周排列，将 圆周排列数 记为 Q(n, m)。
分析：
对于标准排列，可得到的序列：
若将序列排成一圈，
则显然，下面的 m 个排列只能算一种：
故，
Q(n, m) = P(n, m) / m
根据上面的分析结果，显然，问题(4) 的答案是 Q(3, 3) = P(3, 3) / 3 = 2，即，顺时针坐 和 逆时针左。
在排列组合中，默认挑选出来的m个元素是不能重复，但如果允许重复呢？
将 例子 (2')，改为：
总共有三个球，从中挑选出两个不考虑顺序，不过每次挑选时会将球的号码记录然后将球放回，问有多少种挑选方案？ (2''-1)
有两个箱子，每个箱子里装着完全相同的三个球，从每个箱子里挑选1个不考虑顺序 ，问有多少种挑选方案？ (2''-2)
(2''-1) 和 (2''-2) 本质是相同的，下面以 (2''-1) 为例。
分析：
首先，可以用穷举法。①②③ 中有放回的挑选2个球 组合，按照从小到大的排列顺序，有如下可能：
①①、②②、③③、①②、①③、②③
共有 6 种。
其次，可以将 有重复组合 转化为 无重复组合，方法如下：
对于任何一次的有重复组合结果，按照 从小到大的排列：
a?? ≤ a??
让 原来三个小球中 号码比 a?? 大的小球的号码 都加 1， 然后 将 小球 a?? 的号码 也加 1 并 添加到 三个小球 中。
这样以来，就将 从 3 个小球中 有放回的挑选 2 个组合 变为 从 4 个小球 中 无放回的挑选 2个组合。
具体操作如下（黑底为修改过的球）：
将 ①②③ → ①① 改为 ①?????? → ①??
将 ①②③ → ②② 改为 ①②???? → ②??
将 ①②③ → ③③ 改为 ①②③?? → ③??
将 ①②③ → ①② 改为 ①②???? → ①??
将 ①②③ → ①③ 改为 ①②③?? → ①??
将 ①②③ → ②③ 改为 ①②③?? → ②??
反过来，对于从 4 个小球 ①②③④，无放回的挑选两个的组合结果，从小到大的排列顺序排列：
a?? < a??
让 原来 4 个小球 中 号码大于 a?? 的小球的号码 都减 1，然后 将 a?? 从 4 个小球 中 去除，并将 a?? 的号码也 减 1。
这样以来，就将 从 4 个小球中 无放回的挑选 2 个组合 变为 从 3 个小球 中 有放回的挑选 2个组合。
具体操作如下（黑底为修改过的球）：
将 ①②③④ → ①② 改为 ①???? → ①??
将 ①②③④ → ①③ 改为 ①②?? → ①??
将 ①②③④ → ①④ 改为 ①②③ → ①??
将 ①②③④ → ②③ 改为 ①②??→ ②??
将 ①②③④ → ②④ 改为 ①②③ → ②??
将 ①②③④ → ③④ 改为 ①②③ → ③??
上面的事实说明：
3 取 2 有重复的组合数 ≡ 4 取 2 无重复的组合数，即，C(4, 2) = 6。
将 3 取 2 的情况 扩展到 n 取 m 有：
将 n 个数 取 m(≤ n) 个 有重复的组合 的结果，按照 从小到大的排列：
a?? ≤ a?? ≤ a?? ≤ … ≤ a_m (4)
对每个 a??（i = 2, 3, …, m） 重复一下操作：
让 被挑选数集 以及 (4) 中 所有比 a?? 大的数都加 1， 然后 将 a?? 加 1，并将 a?? 添加到 被挑选数集 中取；
这样以来，就将 n 个数 取 m(≤ n) 个 有重复的组合 变为 n (m-1) 个数 取 m(≤ n) 个 无重复的组合。
反过来，对于 n (m-1) 个数 取 m(≤ n) 个 无重复的组合 的结果，按照 从小到大的排列顺序排列：
a?? < a?? < a?? < … < a_m (5)
对每个 a??（i = 2, 3, …, m） 重复一下操作：
让 被挑选数集 以及 (5) 中 所有比 a?? 大的数都减 1， 然后，将 a?? 从 被挑选数集 中删除， 并将 a?? 在 (5) 中也减 1；
这样以来，n (m-1) 个数 取 m(≤ n) 个 无重复的组合 变为 就将 n 个数 取 m(≤ n) 个 有重复的组合 。
综上，就证明了：
n 个数 取 m(≤ n) 个 有重复的组合 ≡ n (m-1) 个数 取 m(≤ n) 个 无重复的组合
最终结果：
从 n 个元素 中取出 m 个元素，有重复组合 的组合数为：C(n (m-1), m)。
题目： 从 A = {1,2, …, n} 个数 中取 m(≤ [n / 2]) 个，不相邻组合，即，不存在包括 i 和 i 1 的组合，问组合数是多了？
分析：
这里使用类似 有重复组合 的思路，将 不相邻组合 转化为 等价 的 标准组合。方法如下：
对于 从 A 个数 中取 m 个 的不相邻组合 的结果，按照从小到大的顺序排列：
a?? < a?? < a?? < … < a_m (6)
对每个 a??（i = 2, 3, …, m） 重复一下操作：
让 A 以及 (6) 中 所有大于 a?? 的数都减去 1，并将 a?? 从 A 删除，最后 在 (6) 中 让 a?? 减去 1。
这样以来，就将从 A 中取 m 个 的不相邻组合 变为 从 A’ = {1, 2, …, n – (m-1) } 中取 m 个 的标准组合。
反过来，对于 从 A’ 中取 m 个 的标准组合 的结果，按照从小到大的顺序排列：
a?? < a?? < a?? < … < a_m (7)
对每个 a??（i = 2, 3, …, m） 重复一下操作：
让 A' 以及 (7) 中 所有大于 a?? 的数都加上 1，并将 a?? 也加上1 然后添加到 A' 中。
这样以来，就将 从 A’ 中取 m 个 的标准组合 变成 A 中取 m 个 的不相邻组合 。
综上，就证明了：
从 A = 中取 m 个 的不相邻组合 ≡ 从 A’ 中取 m 个 的标准组合
最终结果：
从 A = {1,2, …, n} 个数 中取 m(≤ [n / 2]) 个，不相邻组合 的组合数为：C(n－(m-1), m)。
最后，除了以上介绍的这些较为基础的排列组合外，还有大量的排列组合问题存在，例如：
将 被选择集合 进行分类，比如：分为男女， 然后 对排列组合结果进行限制，比如：男女相等，男女相邻；
总之 排列组合的算法根据 具体问题不同而异，具体在进行解题时要发挥聪明才智，做到灵活多变，不要强行照搬套路。
由于篇幅有限，只能回答到这里了。
（本人数学水平同样有限，所以出错在所难免，非常欢迎各位老师批评指正。）
